lunes, 15 de octubre de 2012


Tarea 7: Aplicación de la Lógica Predictiva

Hola compañeros y Dra. en esta entrada les hablare de una aplicación de la lógica predictiva  llamada Sistema axiomático.

Sistema axiomático


Este método consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como son los axiomas o algunos postulados y después de esos axiomas en derivar todas las proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas son los cimientos del sistema y los teoremas las superestructuras.

Enfoque axiomático 

El enfoque axiomático puede interpretarse como una máquina que produce formas predicativas, de acuerdo con: reglas sintácticas, reglas de validez y axiomas.
Características de un enfoque axiomático:
  • El concepto de verdad aparece como accesorio
  • Su modelo se conforma por tres partes:
    • Un cálculo
    • Reglas de transformación
    • Axiomas
    •   
Modelo del enfoque axiómatico

Cálculo: Nos dice  cómo es que se construirán formas proposicionales correctas, o fórmulas bien formadas (fbf), del lenguaje.

Alfabeto (signos primitivos):
  • coma: {,}
  • paréntesis: {( , )}
  • Conectivos primitivos: {∨,
  • ¬}
  • Cuantificador universal: {∀}
  • Constantes individuales: Ac = {a, b, c,..., a1, b1, c1,...}
  • Variables individuales: Av = {x, y, z,..., x1, y1, z1,...}
  • Símbolos de predicado: Ap = {P, Q, R,...,P1, Q1, R1 ...}
  • Símbolos de función: Af = {f, g, h,..., f1, g1, h1,...}
Reglas de formación de fórmulas:
  • Cualquier fórmula atómica es una fbf.
  • Si R y S son fbfs, entonces R ∨ S es una fbf.
  • Si R es una fbf, entonces (R) es una fbf.
  • Si R es una fbf, entonces ¬R es una fbf.
  • Si R es una fbf, entonces ∀x R es una fbf.

Definición de otros signos complementarios
  • Pueden emplearse otros conectivos lógicos como: ∧, →, y ↔ para crear fbfs. Su
  • definición corresponde a las vistas en el cálculo proposicional.
  • También puede introducirse el signo de cuantificador existencial ∃, definido como
  • sigue:  ∃x P ↔ ¬∀x ¬P, donde P es una fbf.
Axiomas

Son fbfs iniciales que se emplean para generar fbfs dentro del sistema axiomático.
  • Axioma de Idempotencia
  • Axioma de Adjunción
  • Axioma de Conmutatividad
  • Axioma de Adición
  • Sean P y Q fbfs, entonces la fbf ∀x(P → Q) → (P → ∀xQ) es un axioma, siempre que P no posea  ocurrencias libres de x.
Reglas de inferencia
  • Modus Ponems
  • Sustitución
  • Ejemplificación Universal (E.U.)
    • Sea la fbf ∀xP, entonces se puede obtener la fbf Px|t.
    • Donde P es una fbf y el término t es libre de la variable x en P.
Casos:
  • De la fbf ∀xP se puede producir la fbf Px|x .
  • De la fbf ∀xP se puede obtener la fbf P, donde x es una variable sin ocurrencias libres en P.
  • De la fbf ∀xP se puede obtener la fbf Px|a, donde a es una constante individual.

  • Ejemplificación Existencial (E.E.)
  • Sea la fbf ∃x P, entonces se puede producir la fbf Px|t.
  • Donde P es una fbf y el término t es libre de la variable x en P.
Restricciones:

La variable x no puede exhibir ocurrencias libres en alguna de las premisas o en alguna fbf obtenida en un paso previo de la deducción.
No aparecer el término t en la fbf de la conclusión, en alguna premisa o una fbf
obtenida en un paso previo de la deducción.

Casos:

De la fbf ∃xP se puede obtener la fbf Px|x
De la fbf ∃xP se puede producir la fbf P, donde x es una variable sin ocurrencias libres en P.
De la fbf ∃xP se puede producir la fbf Px|a, donde a es una constante individual.

Observación:
Si el término t es un símbolo de variable, éste se torna fijo al representar un individuo
que no se conoce pero se sabe que existe y, por tanto, no puede efectuarse ninguna
generalización universal sobre él posteriormente.



  • Generalización Universal (G.U.)
    • Si P es una fbf, entonces se puede obtener la fbf ∀xP


Restricciones:

x no posee ocurrencias libres en alguna premisa.
No se permiten generalizaciones universales a partir de P si en ésta el símbolo x se obtuvo de la aplicación previa de la E.E.


  • Generalización Existencial (G.E.)
    • Sea P una fbf, entonces se puede producir la fbf ∃xP.

Donde P es una fbf y la variable x debe originarse de un
término que en P aparezca como una constate individual o una
variable libre.

Leyes importantes:

∀xP ↔ P donde x no posee ocurrencias libres en la fbf P.
∃xP ↔ P donde x no posee ocurrencias libres en la fbf P.
∀xP ↔ ∀yPx|y donde y no posee ocurrencias libres en la fbf P.
∃xP ↔ ∃yPx|y donde y no posee ocurrencias libres en la fbf P.

Intercambio de cuantificadores

∀x P ↔ ¬ ∃x ¬ P
∃x P ↔ ¬ ∀x ¬ P
¬ ∀x P ↔ ∃x ¬ P
¬ ∃x P ↔ ∀x ¬ P

Negación de expresiones con varios cuantificadores

¬ ∀x ∀y P ↔ ∃x ∃y ¬ P
¬ ∃x ∃y P ↔ ∀x ∀y ¬ P
¬ ∀x ∃y P ↔ ∃x ∀y ¬ P
¬ ∃x ∀y P ↔ ∀x ∃y ¬ P

Propiedades conmutativas

∀x ∀y P ↔ ∀y ∀x P donde P es una fbf
∃x ∃y P ↔ ∃y ∃x P donde P es una fbf
∃x ∀y P → ∀y ∃x P donde P es una fbf

Leyes distributivas

∀x(P ∨ Q) ↔ ∀xP ∨ Q donde P y Q son fbfs, Q no posee ocurrencia  libres de x.
∃x(P ∧ Q) ↔ ∃xP ∧ Q ∀xP ∨ ∀xQ → ∀x(P ∨ Q) donde P y Q son fbfs, Q no posee ocurrencia libres de x.  donde P y Q son fbfs
∀x(P ∧ Q) ↔ ∀xP ∧ ∀xQ donde P y Q son fbfs
∃x(P ∧ Q) → ∃xP ∧ ∃xQ donde P y Q son fbfs
∃x(P ∨ Q) ↔ ∃xP ∨ ∃xQ donde P y Q son fbfs
∀x(P → Q) → (∀xP → ∀xQ) donde P y Q son fbfs
∀xP ∨ ∀yQ ↔ ∀x ∀y (P ∨ Q) donde P y Q son fbfs; además y no posee ocurrencias libres en P y x no posee ocurrencias libres en Q.


Otras

∀x(P →Q) ↔ (∃xP → Q) donde Q no posee ocurrencias libres de x.
∃x(P → Q) ↔ (∀xP → ∃xQ)
(∃xP → ∀xQ) → ∀x(P → Q)
(∃xP → ∀xQ) → (∀xP → ∀xQ)
∀x ∀y ∀z(P ∧ Q → R) ↔ ∀x ∀z (∃y (P ∧ Q) → R); donde la fbf P tiene ocurrencias libres de x y y, la fbf Q posee ocurrencias libres de y y z, y la fbf R posee ocurrencias libres de x y z.


Observaciones a tener en cuenta en procesos demostrativos:

Es diferente P | Q de | P → Q. En el primero, P es una premisa; en el segundo, P debe tratarse como una hipótesis auxiliar.
Cuando se encuentre en un proceso demostrativo, aplique primero la ejemplificación existencial que la universal.
Si P es una fbf, es posible sustituir cualquier subexpresión, o fbf, B de A, por una fbf C, siempre y cuando B y C hallan sido demostradas como equivalentes. (Esta es una forma de expresar la R.V. sustitución).
Cuando en un proceso de prueba sólo se emplee la R.V. sustitución, el resultado obtenido es lógicamente equivalente a la expresión de la cual surgió. Esto implica que en algunos procesos demostrativos de bicondicionales, requieran sólo demostrarse un solo sentido.
Demostrar una fbf A, es equivalente a demostrar que la fbf ¬A lo lleva a una contradicción.
No poder demostrar una fbf A, es equivalente a no poder probar que la fórmula ¬A lo lleva a una contradicción.



Bibliografía:

3 comentarios:

  1. La entrada quedó a un nivel muy teórico, mientras el objetivo de la tarea era sobre aplicaciones. Te pongo 9 pts.

    ResponderEliminar
  2. NP esta semana también. DEBES entregar por lo menos una tarea más para no tener NC (son 8 mínimo entregadas).

    ResponderEliminar